平成27年東京農工大学編入試験問題解答　数学　問題4:微分方程式

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まず同時方程式の一般解\(y_{1}\)を特性方程式より導くと \begin{eqnarray}\lambda^{2}+3&=&0\\\lambda^{2}&=&-3\\\lambda&=&\sqrt{3}i\\∴\ y_{1}&=&A\cos{\sqrt{3}x}+B\sin{\sqrt{3}x}\end{eqnarray}

つぎに非同次方程式の特殊解\(y_{2}\)の解の形を\(C_{1}x\cos{\sqrt{3}x}+C_{2}x\sin{\sqrt{3}x}\)と予想すると

\begin{eqnarray}y_{2}&=&C_{1}x\cos{\sqrt{3}x}+C_{2}x\sin{\sqrt{3}x}\\y_{2}'&=&C_{1}\cos{\sqrt{3}x}+C_{2}\sin{\sqrt{3}x}-\sqrt{3}C_{1}x\sin{\sqrt{3}x}+\sqrt{3}C_{2}x\cos{\sqrt{3}x}\\y_{2}''&=&-2\sqrt{3}C_{1}\sin{\sqrt{3}x}+2\sqrt{3}C_{2}\cos{\sqrt{3}x}-3C_{1}x\cos{\sqrt{3}x}-3C_{2}x\sin{\sqrt{3}x}\end{eqnarray}

これを与式に代入して

\begin{eqnarray}y_{2}''+3y_{2}&=&\cos{\sqrt{3}}\\-2\sqrt{3}C_{1}\sin{\sqrt{3}x}+2\sqrt{3}C_{2}\cos{\sqrt{3}x}&=&\cos{\sqrt{3}x}\end{eqnarray}

恒等式から \begin{eqnarray}2\sqrt{3}C_{1}&=&0\\C_{1}&=&0\\2\sqrt{3}C_{2}&=&1\\C_{2}&=&\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{eqnarray}

よって与式の一般解\(y(x)\)は \begin{eqnarray}y(x)&=&y_{1}+y_{2}\\&=&A\cos{\sqrt{3}x}+B\sin{\sqrt{3}x}+\frac{x}{2\sqrt{3}}\sin{\sqrt{3}x}\\y'(x)&=&-\sqrt{3}A\sin{\sqrt{3}x}+\sqrt{3}B\cos{\sqrt{3}x}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\sin{\sqrt{3}x}+\frac{x}{2}\cos{\sqrt{3}x}\end{eqnarray}

初期条件から \begin{eqnarray}y(0)&=&A=1\\y'(0)&=&\sqrt{3}B&=&1\\B=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{eqnarray}

以上より、条件を満たす解は \begin{eqnarray}y(x)&=&\cos{\sqrt{3}x}+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin{\sqrt{3}x}+\frac{x}{2\sqrt{3}}\sin{\sqrt{3}x}\\&=&\cos{\sqrt{3}x}+\frac{x+2}{2\sqrt{3}}\sin{\sqrt{3}x}\end{eqnarray}