平成27年東京農工大学編入試験問題解答 数学 問題3:固有値と固有ベクトル
[1]
行列\(A\)と固有値\(t\)の関係は
\begin{eqnarray}\left|A-tE\right|=\left|\begin{array}{ccc} 2-t & 1 & 2 \\ 2 & 2-t & 1 \\ 5 & 2 & c-t\end{array} \right|=0\end{eqnarray}
条件\(t=1\) のとき,
\begin{eqnarray}\left|\begin{array}{ccc} 2-1 & 1 & 2 \\ 2 & 2-1 & 1 \\ 5 & 2 & c-1 \end{array} \right|&=&\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & c-1 \end{array}\right|\\&=&c-1+5+8-10-2-2(c-1)\\&=&2-c\end{eqnarray}
\(\left|A-tE\right|=0\) の関係より \begin{eqnarray}2-c&=&0\\c&=&2\end{eqnarray}
[2]
[1]の解から\(c=2\)を代入し、固有値\(t=1\)より
\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{ccc} 2-t & 1 & 2 \\ 2 & 2-t & 1 \\ 5 & 2 & c-t \end{array} \right)&=&\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{array}\right)\end{eqnarray}
この行列を基本変形して
\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\end{eqnarray}
この結果から得られる連立方程式 \begin{eqnarray}x-z=0\\y+3z=0\end{eqnarray}
を\(z=s\)という任意定数sで表すと \begin{eqnarray}\vec{x}=\begin{pmatrix} x\\ y \\z \end{pmatrix}=s\begin{pmatrix} 1\\ -3 \\1 \end{pmatrix}\end{eqnarray}
解の形を条件のようにすると\(s=1\)、つまり \begin{eqnarray}\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \\1 \end{pmatrix}\end{eqnarray}
行列と固有値の関係を理解しておくと余裕です。
