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平成27年東京農工大学編入試験問題解答 数学 問題1:極値問題

問題1

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関数\({f(x,y)}\)の\(x\),\(y\)についての偏微分をそれぞれ\(0\)とおくと

\begin{eqnarray}f_{x}&=&6x^{2}+3y&=&0\\f_{y}&=&3x+6y&=&0\end{eqnarray}

係数を整理して

\begin{eqnarray}f_{x}&=&2x^{2}+y&=&0\\f_{y}&=&x+2y&=&0\end{eqnarray}

\(f_{y}\)の式を\(x=-2y\)とおいて\(f_{x}\)の式の\(x\)に代入し\(y\)について解くと

\begin{eqnarray}f_{y}=8y^{2}+y&=&0\\y(8y+1)&=&0\\y&=&0,-\frac{1}{8}\end{eqnarray}

\(y=0\)のとき

\begin{eqnarray}2x^{2}&=&0\\x&=&0\end{eqnarray}

\(y=-\frac{1}{8}\)のとき

\begin{eqnarray}2x^{2}-\frac{1}{8}&=&0\\x^{2}&=&\frac{1}{16}\\x&=&\pm\frac{1}{4}\end{eqnarray}

よって、極値をとりうる可能性のある点は\((0,0),(\pm\frac{1}{4},-\frac{1}{8}\)の3つ 

次に\(f(x,y)\)の2階偏微分を求めると

\begin{eqnarray}f_{xx}&=&12x\\f_{yy}&=&6\\f_{xy}&=&3=f_{yx}\end{eqnarray}

判別式\(H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=72x-9\)より

\begin{eqnarray}H(0,0)&=&-9<0\\H(\frac{1}{4},-\frac{1}{8})&=&18-9=9>0\\H(-\frac{1}{4},-\frac{1}{8})&=&-18-9=-27<0\end{eqnarray}

よって極値をとる点は\((\frac{1}{4},-\frac{1}{8})\)の1点のみであり

\begin{eqnarray}f_{xx}(\frac{1}{4},-\frac{1}{8})&=&3>0で極小\end{eqnarray}

つまり2変数関数\({f(x,y)=3x^{2}y+xy^{3}-5xy}\)は、

\begin{eqnarray}極小値 f(\frac{1}{4},-\frac{1}{8})&=&-\frac{1}{64}\end{eqnarray}をとる。

 

※問題文の数値と解答の座標(見えづらいが青い球の位置)を描画してみると、解答が正しいことがわかる。

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農工大の極値問題は毎年難易度低めなので、この問題も20分~30分で解きたい問題です。

 

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