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平成29年東京農工大学編入試験問題解答 数学 問題3:固有値と固有ベクトル

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[1]
行列\(A\)の3行目のみ注目すればいいので、

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{ccc} -1 & r & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\\2+3r-1&=&0\\r&=&-\frac{1}{3}\end{eqnarray}

[2]

[1]の解から\(r=-\frac{1}{3}\)とし

\begin{eqnarray}\left|A-\lambda E\right|=\left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda & 2 & 3 \\ 1 & -\lambda & -3 \\ -1 & -\frac{1}{3} & 1-\lambda \end{array} \right|&=&0\\ \lambda^{3}-4\lambda^{2}+3\lambda&=&0\\\lambda(\lambda-3)(\lambda-1)&=&0\\\lambda=3,1,0\end{eqnarray}

\(\lambda_{1}>\lambda_{2}>\lambda_{3}\)より\(\lambda_{1}=3\)

なので

\begin{eqnarray}\left(A-\lambda_{1} E\right)=\left(A-3 E\right)=\left(\begin{array}{ccc} 3-3 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1 & -\frac{1}{3} & 1-3 \end{array} \right)\\=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1 & -\frac{1}{3} & -2 \end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ 3 & 1 & 6 \end{array} \right)\rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & -3 \\0 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 6 \end{array} \right)\\ \rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & -3 \\0 & 2 & 3\\ 0 & 10 & 15 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & -3 \\0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\rightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{3}{2} \\0 & 1 & \frac{3}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\end{eqnarray}

この結果から得られる連立方程式 \begin{eqnarray}x+\frac{3}{2}z=0\\y+\frac{3}{2}z=0\end{eqnarray}

これを解き、\(z=s\)という任意定数sで表すと \begin{eqnarray}\vec{x}=\begin{pmatrix} x\\ y \\z \end{pmatrix}=s\begin{pmatrix} -\frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2} \\1 \end{pmatrix}\end{eqnarray}

解の形を条件のようにすると\(s=1\)、つまり \begin{eqnarray}\vec{x}=\begin{pmatrix} -\frac{3}{2}\\ -\frac{3}{2} \\1 \end{pmatrix}\end{eqnarray}

 

出題の方法がH27,H28の行列問題と非常に似ているので、H30もこんな感じの問題が出るのかなと予想されます。難しいレベルではないので農工大の行列は満点狙いたいです。

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