平成28年東京農工大学編入試験問題解答 電磁気学
円柱導体の単位高さあたりの体積\(V\)は\begin{eqnarray}V=\pi a^{2}\end{eqnarray}
つまり電流密度\(J\)は\begin{eqnarray}J=\frac{電流}{体積}=\frac{I}{V}=\frac{I}{\pi a^{2}}\end{eqnarray}
\(0<\rho<a\)のとき
\begin{eqnarray}I_{1}&=&円柱導体の体積\times 電流密度\\&=&\pi \rho^{2}\cdot J=\frac{\rho^{2}}{a^{2}}I\end{eqnarray}
\(a<\rho<+\infty\)のとき、円柱導体の体積は半径\(a\)で変化しないので
\begin{eqnarray}I_{2}=I\end{eqnarray}
アンペールの法則\(B=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\)から
\(0<\rho<a\)のとき
\begin{eqnarray}B(\rho)=\frac{\mu_{0} I_{1}}{2\pi\rho}=\frac{\mu_{0}}{2\pi\rho}\cdot\frac{\rho^{2}}{a^{2}}I=\frac{\mu_{0}I}{2\pi a^{2}}\rho\end{eqnarray}
\(a<\rho<+\infty\)のとき
\begin{eqnarray}B(\rho)=\frac{\mu_{0}I_{2}}{2\pi\rho}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\end{eqnarray}
\(B\)の式について変数\(\rho\)とその他で分けて考えてみると
\(0<\rho<a\)のとき
\begin{eqnarray}B(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi a^{2}}\cdot\rho \ \ \ (正比例)\end{eqnarray}
\(a<\rho<+\infty\)のとき、
\begin{eqnarray}B(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\cdot\frac{1}{\rho} \ \ \ (反比例)\end{eqnarray}
右ねじの法則から磁束密度の方向は\(+\phi\)方向
\(0<\rho<a\)のとき
\begin{eqnarray}B(\rho)=0\end{eqnarray}
\(a<\rho<b\)のとき
\begin{eqnarray}B(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\end{eqnarray}
\(b<\rho<+\infty\)のとき
\begin{eqnarray}B(\rho)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}-\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}=0\end{eqnarray}
微小領域\((\rho+d\rho)l\)を貫く磁束密度\(B\)は
\begin{eqnarray}B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\end{eqnarray}
よってその領域の磁束は
\begin{eqnarray}d\Phi=B\cdot dS=B\cdot ld\rho\end{eqnarray}
\(a<\rho<b\)の間で積分することで
\begin{eqnarray}\Phi&=&\int B\cdot ld\rho=l\int_{a}^{b}\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}d\rho\\&=&\frac{\mu_{0}Il}{2\pi}\int_{a}^{b}\frac{1}{\rho}d\rho=\frac{\mu_{0}Il}{2\pi}\int_{a}^{b}\left[\log\rho\right]_{a}^{b}\\&=&\frac{\mu_{0}Il}{2\pi}\left(\log b - \log a\right)=\frac{\mu_{0}I l}{2\pi}\log\frac{b}{a}\end{eqnarray}
自己インダクタンスの公式から
\begin{eqnarray}L_{0}=\frac{\Phi}{I}=\frac{\mu_{0}l}{2\pi}\log\frac{b}{a}\end{eqnarray}
