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倫理学のすゝめ

書きたいことをいろいろ書いてます

平成28年度 東京農工大学編入試験 数学解いてみた

今年度の編入試験の問題が公開されていたのでさっそく数学を解いてみました。
(この過去問は東京農工大学の編入学ページにて無料で入手できます。)

追記:力学も解きました。合わせてどうぞ。

 

問題と解答

2変数関数 \({f(x,y)=3x^{2}y+xy^{3}-5xy}\) の極値をすべて求めなさい。ただし,求めたすべての極値について極大値か極小値であるかを明記し,さらに極大値もしくは極小値をとる点{(x,y)}も書きなさい。

関数\({f(x,y)}\)の\(x\),\(y\)についての偏微分をそれぞれ\(0\)とおくと

\begin{eqnarray}f_{x}&=&6xy+y^{3}-5y&=&0\\f_{y}&=&3x^{2}+3xy^{2}-5x&=&0\end{eqnarray}

\(f_{x}\)の式を\(y^{2}=5-6x\)とおいて\(f_{y}\)の式の\(y^{2}\)に代入し\(x\)について解くと

\begin{eqnarray}f_{y}=3x^{2}+3xy^{2}-5x&=&0\\3x^{2}+3x(5-6x)^{2}-5x&=&0\\10x-15x^{2}&=&0\\x(2-3x)&=&0\\∴x&=&0,\frac{2}{3}\end{eqnarray}

\(x=0\)のとき

\begin{eqnarray}y(y^{2}-5)&=&0\\y&=&0,\pm\sqrt{5}\end{eqnarray}

\(x=\frac{2}{3}\)のとき

\begin{eqnarray}4y+y^{3}-5y&=&0\\y(y+1)(y-1)&=&0\\y&=&0,\pm1\end{eqnarray}

よって、極値をとりうる可能性のある点は\((0,0),(0,\pm\sqrt{5}),(\frac{2}{3},0),(\frac{2}{3},\pm1)\)の6つ 

次に\(f(x,y)\)の2階偏微分を求めると

\begin{eqnarray}f_{xx}&=&6y\\f_{yy}&=&6xy\\f_{xy}&=&6x+3y^{2}-5=f_{yx}\end{eqnarray}

判別式\(H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=36xy^{2}-(6x+3y^{2}-5)^{2}\)より

\begin{eqnarray}H(0,0)&=&-25<0\\H(0,\pm\sqrt{5})&=&-100<0\\H(\frac{2}{3},0)&=&-1<0\\H(\frac{2}{3},\pm1)&=&20>0\end{eqnarray}

よって極値をとる点は\((\frac{2}{3},\pm1)\)の2点のみであり

\begin{eqnarray}f_{xx}(\frac{2}{3},1)&=&6>0で極小\\f_{xx}(\frac{2}{3},-1)&=&-6<0で極大\end{eqnarray}

つまり2変数関数\({f(x,y)=3x^{2}y+xy^{3}-5xy}\)は、

\begin{eqnarray}極小値f(\frac{2}{3},1)&=&-\frac{4}{3}\\極大値f(\frac{2}{3},-1)&=&\frac{4}{3}\end{eqnarray}をとる。

 
領域\(D=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq x,y\geq0\}\)における次の2重積分\(I\)の値を求めなさい。\begin{eqnarray}I=\iint_{D}x^{2}y\ dxdy\end{eqnarray}

領域\(D\)の式を平方完成により整理すると下図のような領域になる

\begin{eqnarray}x^{2}+y^{2}&\leq&x\\x^{2}+y^{2}-x&\leq&0\\x^{2}-x+\frac{1}{4}+y^{2}&\leq&\frac{1}{4}\\\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}&\leq& \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\end{eqnarray}

 

f:id:kenkitube:20160118130853p:plain

 

\(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)とおくと領域は

\begin{eqnarray}D&=&\left\{(r,\theta)\bigm|0\leq r\leq r\cos\theta,0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}\right\},\\J&=&\left|\frac{(x,y)}{(r,\theta)}\right|=r\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\end{eqnarray}

以上の条件から与式を曲座標変換して解くと

\begin{eqnarray}I=\iint_{D}x^{2}y\ dxdy&=&\int_{0}^{\cos\theta}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}r\cdot r^{2}\cos^{2}\theta\cdot r\sin\theta\ drd\theta\\&=&\int_{0}^{\cos\theta}r^{4}dr\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}\theta\sin\theta d\theta\\&=&\frac{1}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{7}\theta\sin\theta d\theta\end{eqnarray}

ここで\(t=\cos\theta\)とおくと \begin{eqnarray}t&=&\cos\theta\\dt&=&-\sin\theta d\theta\\\sin\theta d\theta&=& -dt\end{eqnarray}

積分範囲は \begin{eqnarray}0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\rightarrow 1\leq t\leq 0\end{eqnarray}

と置換して計算すると \begin{eqnarray}=\frac{1}{5}\int_{1}^{0}-t^{7}dt=\frac{1}{5}\left[-\frac{t^{8}}{8}\right]_{1}^{0}=\frac{1}{40}\end{eqnarray}

 
\(A = \left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -4 \\ -3 & 1 & 7 \\ -1 & 4 & -5 \end{array} \right),\vec{x}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\x_{3} \end{pmatrix},\vec{b}=\begin{pmatrix} -5\\t\\u \end{pmatrix}\)とする。ただし\(t,u\)は定数とする。

[1] 未知数\(x_{1},x_{2},x_{3},\)に関する連立1次方程式\(A\vec{x}=\vec{b}\)が解をもつとき,\(uをt\)の式で表しなさい。

[2] \(u\)が[1]で求めた\(t\)の式で表されているとする。t=9とした場合の連立1次方程式\(A\vec{x}=\vec{b}\)を解きなさい。

[1]
\(Aと\vec{b}\)による拡大係数行列\(\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -4 & -5 \\ -3 & 1 & 7 & t\\ -1 & 4 & -5 & u\end{array} \right)\)を基本変形すると

\begin{eqnarray}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 5 & -u\\ -3 & 1 & 7 & t\\2 & -1 & -4 & -5 \end{array} \right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 5 & -u\\ 0 & 11 & -22 & 3u-t\\0 & 7 & -14 & 2u-5 \end{array} \right)\\\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 5 & -u\\ 0 & 1 & -2 & \frac{3u-t}{11}\\0 & 1 & -2 & \frac{2u-5}{7}\end{array} \right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 5 & -u\\ 0 & 1 & -2 & \frac{3u-t}{11}\\0 & 0 & 0 & \frac{2u-5}{7}-\frac{3u-t}{11}\end{array} \right)\end{eqnarray}

連立方程式が解をもつとき、\(rank(A)\)=\(rank(A|\vec{b})\) が条件であるから

\begin{eqnarray}0&=&\frac{2u-5}{7}-\frac{3u-t}{11}\\u&=&55-7t\end{eqnarray}

[2]
\(t=9のとき\)

\begin{eqnarray}u&=&55-7\cdot t\\&=&-8\end{eqnarray} \(t,u\)を拡大係数行列\(A\vec{b}\)に代入して

\begin{eqnarray}\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 5 & 8\\ 0 & 1 & -2 & -3\\0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3 & -6\\ 0 & 1 & -2 & -3\\0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right)\end{eqnarray}

この結果から得られる連立方程式 \begin{eqnarray}x_{1}-3x_{3}=-6\\x_{2}-2x_{3}=-3\end{eqnarray}

を\(x_{3}=s\)という任意定数sで表すと \begin{eqnarray}\vec{x}=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\x_{3} \end{pmatrix}=s\begin{pmatrix} 3\\ 2 \\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -6\\ -3 \\0 \end{pmatrix}\end{eqnarray}

 
\(x\)の関数\(y=y(x)\)についての微分方程式\begin{eqnarray}y''-y'-6y=6x+4e^{-x}\end{eqnarray}の解のうち、\(y(0)=0,\ y'(0)=0\)を満たすものを求めなさい。

まず同時方程式の一般解\(y_{0}\)を特性方程式より導くと \begin{eqnarray}\lambda^{2}-\lambda-6&=&0\\(\lambda-3)(\lambda+2&=&0\\\lambda&=&3,-2\\∴\ y_{0}&=&C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x}\end{eqnarray}

つぎに非同次方程式の特殊解\(y_{1}\)の解の形を\(Ax+B+Ce^{-x}\)と予想すると

\begin{eqnarray}y_{1}&=&Ax+B+Ce^{-x}\\y_{1}'&=&A-Ce^{-x}\\y_{1}''&=&Ce^{-x}\\\end{eqnarray}

これを与式に代入して

\begin{eqnarray}y_{1}''-y_{1}'-6y_{1}=6x+4e^{-x}\\Ce^{-x}-(A-Ce^{-x})-6(Ax+B+Ce^{-x})=6x+4e^{-x}\\-6Ax+(-6B-A)-4Ce^{-x}=6x+4e^{-x}\end{eqnarray}

恒等式から \begin{eqnarray}A=-1,B=\frac{1}{6},C=-1\\∴y_{1}=-x-e^{-x}+\frac{1}{6}\end{eqnarray}

よって与式の一般解\(y(x)\)は \begin{eqnarray}y(x)&=&y_{0}+y_{1}\\&=&C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-2x}-e^{-x}-x+\frac{1}{6}\\y'(x)&=&3C_{1}e^{3x}-2C_{2}e^{-2x}+e^{-x}-1\end{eqnarray}

初期条件から \begin{eqnarray}y(0)&=&C_{1}+C_{2}-1+\frac{1}{6}=C_{1}+C_{2}-\frac{5}{6}=0\\y'(0)&=&3C_{1}-2C_{2}+1-1=3C_{1}-2C_{2}=0\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}∴C_{1}=\frac{1}{3},C_{2}=\frac{1}{2}\end{eqnarray}

以上より、条件を満たす解は \begin{eqnarray}y(x)=\frac{1}{3}e^{3x}+\frac{1}{2}e^{-2x}-e^{-x}-x+\frac{1}{6}\end{eqnarray}